1 Grundlagen der ZinsrechnungAls Zins wird der Betrag bezeichnet, den ein Schuldner einem Gläubiger als Entgelt für die zeitlich begrenzte Bereitstellung einer bestimmten Summe zahlen muss. Möglich ist es auch, dass bereits gezahlte Zinsen mitverzinst werden. Man spricht dann vom Zinseszins. Mithilfe der Zinsrechnung wird ermittelt, wie hoch der Gesamtbetrag ist, den der Schuldner nach Ablauf einer Frist bezahlen muss. Grundsätzlich spielen bei der Zinsrechnung die folgenden Faktoren eine Rolle:
Jede dieser Variablen können Sie mithilfe der jeweils anderen errechnen. |
2 Einfache Zinsrechnung
Bei einfacher Zinsrechnung bleibt der Zinsbetrag über die gesamte Laufzeit konstant, d. h. Zinsen, die während der Laufzeit anfallen, werden dem zugrunde liegenden Kapital nicht zugeschrieben. Das Kapital, auf das sich der Zinssatz bezieht, verändert sich also während der Laufzeit nicht.
Nach einer Laufzeit von einem Jahr hat der Kapitalgeber einen Zinsanspruch in Höhe von i · K0. Ist das Kreditgeschäft nach diesem einen Jahr beendet, entspricht das Endkapital der Summe aus Anfangskapital und Zinsen:
K1 = K0 + i · K0
Bei einer Laufzeit von mehr als einem Jahr besitzt der Kapitalgeber weitere Zinsansprüche in den folgenden Jahren. Diese Zinsansprüche entsprechen denen aus dem ersten Jahr, da bei einfacher Zinsrechnung die anfallenden Zinsen nicht dem zinstragenden Kapital zugeschlagen werden. Der Zinssatz bezieht sich also weiterhin auf das Anfangskapital K0. Nach dem zweiten Jahr hat der Kapitalgeber daher Anspruch auf:
| K2 = | K0 + i · K0 + i · K0
K0 + 2 · i · K0 |
Die Berechnung der Zinsbeträge sowie die Ansprüche des Kapitalgebers für die folgenden Jahre bis zum Laufzeitende n wird analog durchgeführt:
| K1 = | K0 + i · K0 |
| K2 = | K0 + 2 · i · K0 |
| K3 = | K0 + 3 · i · K0 |
| ·
· · |
|
| Kn = | K0 + n · i · K0. |
Durch Umformung dieser Gleichungen erhält man die folgende Formel zur Berechnung des Endkapitals Kn:
| Kn = | K0 (1 + n · i) |
Auf Grundlage dieser Formel können auch der Zinssatz, das Anfangskapital sowie die Laufzeit berechnet werden.
Die Entwicklung des Endkapitals in Abhängigkeit von der Laufzeit bei einfacher Zinsrechnung zeigt Abbildung 1.
Abb. 1: Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei einfacher Zinsrechnung
|
Praxis-Beispiel Einfache Zinsrechnung
|
3 Zinseszinsrechnung
Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinszahlungen einer Periode zu dem zinstragenden Kapital addiert, d. h. der Betrag, auf den sich der Zinssatz bezieht, erhöht sich mit zunehmender Laufzeit. Das bedeutet, dass der Zinsbetrag einer Periode in den jeweils folgenden Perioden mitverzinst wird. Die so entstehenden Zinsansprüche des Kapitalgebers im ersten Jahr entsprechen den Zinsansprüchen bei einfacher Zinsrechnung. Im zweiten Jahr werden dann die angefallenen Zinsen des ersten Jahres mitverzinst, sodass der Zinsbetrag im zweiten Jahr i · K1 entspricht. Das am Ende des zweiten Jahres vorhandene Kapital errechnet sich wie folgt:
| K2 = | K1 + i · K1
K1 · (1 + i) K0 · (1 + i) (1 + i) K0 · (1 + i)2 |
Diese Berechnung des Kapitalbetrages lässt sich für beliebige Laufzeiten analog durchführen:
| K1 = | K0 · (1 + i) |
| K2 = | K0 · (1 + i)2 |
| K3 = | K0 · (1 + i)3 |
| ·
· · |
|
| Kn = | K0 · (1 + i)n |
(1 + i)n wird als Aufzinsungsfaktor bezeichnet.
Die Entwicklung des Endkapitals in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszinsrechnung verdeutlicht Abbildung 2.
Abb. 2: Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszins
Im Vergleich zur einfachen Zinsrechnung ergibt sich bei der Zinseszinsrechnung für Laufzeiten über einem Jahr ein höherer Endwert. Diesen Sachverhalt zeigt Abbildung 3.
Abb. 3: Vergleich des Verlaufs des Endkapitals bei einfacher Zinsrechnung und bei Zinseszinsrechnung.
Durch Umstellung der Formel zur Ermittlung des Endwertes kann der Abzinsungsfaktor ermittelt werden, mit dem der heutige Wert einer künftigen Zahlung bestimmt werden kann: K0 = Kn / (1 + i)n
|
Praxis-Beispiel Zinseszinsrechnung
|
Zinsrechner
Wenn Sie Ihr Anlagekapital kennen, können Sie den Zinsrechner nutzen, um mit dem Zinssatz und der Laufzeit das erwartete Endkapital zu berechnen. Der Zinseszins wird dabei automatisch berücksichtigt.
