Zinsrechnung

1 Grundlagen der Zinsrechnung

Als Zins wird der Betrag bezeichnet, den ein Schuldner einem Gläubiger als Entgelt für die zeitlich begrenzte Bereitstellung einer bestimmten Summe zahlen muss. Möglich ist es auch, dass bereits gezahlte Zinsen mitverzinst werden. Man spricht dann vom Zinseszins. Mithilfe der Zinsrechnung wird ermittelt, wie hoch der Gesamtbetrag ist, den der Schuldner nach Ablauf einer Frist bezahlen muss.

Grundsätzlich spielen bei der Zinsrechnung die folgenden Faktoren eine Rolle:

  • Anfangskapital (K0)
  • Endkapital (Kn)
  • Laufzeit (n)
  • Zinssatz (i)

Jede dieser Variablen können Sie mithilfe der jeweils anderen errechnen.

2 Einfache Zinsrechnung

Bei einfacher Zinsrechnung bleibt der Zinsbetrag über die gesamte Laufzeit konstant, d. h. Zinsen, die während der Laufzeit anfallen, werden dem zugrunde liegenden Kapital nicht zugeschrieben. Das Kapital, auf das sich der Zinssatz bezieht, verändert sich also während der Laufzeit nicht.

Nach einer Laufzeit von einem Jahr hat der Kapitalgeber einen Zinsanspruch in Höhe von i · K0. Ist das Kreditgeschäft nach diesem einen Jahr beendet, entspricht das Endkapital der Summe aus Anfangskapital und Zinsen:

K1 = K0 + i · K0

Bei einer Laufzeit von mehr als einem Jahr besitzt der Kapitalgeber weitere Zinsansprüche in den folgenden Jahren. Diese Zinsansprüche entsprechen denen aus dem ersten Jahr, da bei einfacher Zinsrechnung die anfallenden Zinsen nicht dem zinstragenden Kapital zugeschlagen werden. Der Zinssatz bezieht sich also weiterhin auf das Anfangskapital K0. Nach dem zweiten Jahr hat der Kapitalgeber daher Anspruch auf:

K2 =K0 + i · K0 + i · K0

K0 + 2 · i · K0

Die Berechnung der Zinsbeträge sowie die Ansprüche des Kapitalgebers für die folgenden Jahre bis zum Laufzeitende n wird analog durchgeführt:

K1 =K0 + i · K0
K2 =K0 + 2 · i · K0
K3 =K0 + 3 · i · K0
·

·

·

Kn =K0 + n · i · K0.

Durch Umformung dieser Gleichungen erhält man die folgende Formel zur Berechnung des Endkapitals Kn:

Kn =K0 (1 + n · i)

Auf Grundlage dieser Formel können auch der Zinssatz, das Anfangskapital sowie die Laufzeit berechnet werden.

Die Entwicklung des Endkapitals in Abhängigkeit von der Laufzeit bei einfacher Zinsrechnung zeigt Abbildung 1.

Abb. 1: Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei einfacher Zinsrechnung

Praxis-Beispiel

Einfache Zinsrechnung

  1. Ein Betrag von 500.000 EUR wird zu einem Zinssatz von 5 % p.a. für 7 Jahre ohne Zinseszins angelegt.
    Die jährliche Zinszahlung beträgt 500.000 EUR · 0,05 = 25.000 EUR. Nach 7 Jahren hat der Anleger einen Anspruch auf den Endbetrag K7 in Höhe von:
    K7 = 500.000 EUR (1+ 7 · 0,05) = 500.000 EUR + 175.000 EUR = 675.000 EUR.
  2. Ein Anleger möchte wissen, welchen Geldbetrag er heute anlegen muss, um bei einer Verzinsung von 6 % in 10 Jahren einen Betrag von 100.000 EUR zu erhalten.
    K0 = Kn / (1+ n · i)
    K0 = 100.000 EUR / (1 + 10 · 0,06)
    K0 = 62.500
  3. Einem Anleger stehen heute 50.000 EUR zur Verfügung, die er so anlegen möchte, dass er in 5 Jahren genau 80.000 EUR zur Verfügung hat. Zu welchem Zinssatz muss er das Kapital anlegen?
    i = (Kn – K0) / K0 · n
    i = (80.000 – 50.000) / 80.000 · 5
    i = 0,075
  4. Ein Betrag in Höhe von 80.000 EUR soll zu einem Zinssatz von 5 % so angelegt werden, dass sich ein Endbetrag von 100.000 EUR ergibt. Wie lange muss das Kapital angelegt werden?
    n = (Kn – K0) / K0 · i
    n = (100.000 – 80.000) / 80.000 · 0,05
    n = 5

3 Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinszahlungen einer Periode zu dem zinstragenden Kapital addiert, d. h. der Betrag, auf den sich der Zinssatz bezieht, erhöht sich mit zunehmender Laufzeit. Das bedeutet, dass der Zinsbetrag einer Periode in den jeweils folgenden Perioden mitverzinst wird. Die so entstehenden Zinsansprüche des Kapitalgebers im ersten Jahr entsprechen den Zinsansprüchen bei einfacher Zinsrechnung. Im zweiten Jahr werden dann die angefallenen Zinsen des ersten Jahres mitverzinst, sodass der Zinsbetrag im zweiten Jahr i · K1 entspricht. Das am Ende des zweiten Jahres vorhandene Kapital errechnet sich wie folgt:

K2 =K1 + i · K1

K1 · (1 + i)

K0 · (1 + i) (1 + i)

K0 · (1 + i)2

Diese Berechnung des Kapitalbetrages lässt sich für beliebige Laufzeiten analog durchführen:

K1 =K0 · (1 + i)
K2 =K0 · (1 + i)2
K3 =K0 · (1 + i)3
·

·

·

Kn =K0 · (1 + i)n

(1 + i)n wird als Aufzinsungsfaktor bezeichnet.

Die Entwicklung des Endkapitals in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszinsrechnung verdeutlicht Abbildung 2.

Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei ZinseszinsAbb. 2: Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszins

Im Vergleich zur einfachen Zinsrechnung ergibt sich bei der Zinseszinsrechnung für Laufzeiten über einem Jahr ein höherer Endwert. Diesen Sachverhalt zeigt Abbildung 3.

Abb. 3: Vergleich des Verlaufs des Endkapitals bei einfacher Zinsrechnung und bei Zinseszinsrechnung.

Durch Umstellung der Formel zur Ermittlung des Endwertes kann der Abzinsungsfaktor ermittelt werden, mit dem der heutige Wert einer künftigen Zahlung bestimmt werden kann: K0 = Kn / (1 + i)n

Praxis-Beispiel

Zinseszinsrechnung

  1. Ein Betrag von 500.000 EUR wird zu einem Zinssatz von 5 % p.a. für 7 Jahre mit Zinseszins angelegt.
    Der Endbetrag K7 berechnet sich wie folgt:
    K7 = 500.000 EUR (1+ 0,05)7 = 703.550,20 EUR
  2. Ein Anleger möchte heute einen Geldbetrag mit einer Verzinsung von 6 % anlegen, um in 10 Jahren einen Betrag von 100.000 EUR zu erhalten. Wie hoch muss das Anfangskapital sein?
    K0 = Kn / (1+ i)n
    K0 = 100.000 EUR / (1 + 0,06)10
    K0 = = 55.839,50 EUR
  3. Einem Anleger stehen heute 50.000 EUR zur Verfügung, die er so anlegen möchte, dass er in 5 Jahren genau 80.000 EUR zur Verfügung hat. Zu welchem Zinssatz muss das Anfangskapital verzinst werden?
    i = (Kn/K0)1/5 –1
    i = (80.000 / 50.000)1/5 -1
    i = 0,0985
  4. Ein Betrag in Höhe von 80.000 EUR soll zu einem Zinssatz von 4,5 % so angelegt werden, dass sich ein Endbetrag von 100.000 EUR ergibt. Mit welcher Laufzeit muss das Kapital angelegt werden?
    n = ln (Kn/K0) / ln(1 + i)
    n = ln (100.000 / 80.000) / ln (1 + 0,045)
    n = 5

4 Unterjährige Zinsrechnung

Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf Zinsberechnungen im jährlichen Bereich, d. h. die Berechnung der Zinsen erfolgte jeweils für ein ganzes Jahr. Es kann jedoch vorkommen, dass Zinsen auch im Laufe eines Jahres, beispielsweise halbjährlich, vierteljährlich, monatlich oder auch täglich verrechnet werden. Das Jahr wird dabei in Zinsperioden unterteilt, die jeweils einen Bruchteil des Jahres umfassen.

Im Rahmen der unterjährigen Zinsrechnung wird die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr mit m gekennzeichnet. Bei einer Zinsperiode von einem Tag ist m = 360 oder 365/366, bei einer Zinsperiode von einem Monat ist m = 12 usw. Der unterjährige Zinssatz wird mit j, die Laufzeit der Kapitalanlage, gemessen in Zinsperioden, mit N bezeichnet.

Die Zinsrechnung mit unterjährigen Laufzeiten kann auf zwei unterschiedlichen Wegen erfolgen. Zum einen können die Formeln der jährlichen Zinsrechnung analog angewendet werden. An die Stelle des Jahres tritt hier die Zinsperiode, die Laufzeit wird dementsprechend in Zinsperioden angegeben. Zur Ermittlung der Laufzeit N wird die folgende Gleichung verwendet, wobei n der Laufzeit in Jahren entspricht:

N = n · m

Besitzt eine Kapitalanlage beispielsweise eine Laufzeit von 5,5 Jahren und gilt als Zinsperiode das Quartal ergibt sich eine Laufzeit von N = 4 · n = 22,0 Quartalen. Mit Hilfe dieser Gleichung können die Formeln der jährlichen Zinsrechnung analog verwendet werden. Zu beachten ist, dass an die Stelle von n in der Ausgangsgleichung N und an die Stelle des jährlichen Zinssatzes i der unterjährige Zinssatz j tritt. Daraus ergibt sich für die einfache unterjährige Verzinsung zur Berechnung des Endkapitals KN die folgende Formel:

KN = K0 · (1 + N · j)

Zur Berechnung des Anfangskapitals K0, des Zinssatzes j oder der Laufzeit N muss die Gleichung (analog zur jährlichen Zinsrechnung) umgestellt werden.

Bei unterjähriger Verzinsung mit Zinseszins kann ebenfalls die Gleichung der jährlichen Zinseszinsrechnung analog verwendet werden, wenn die obige Substitution berücksichtigt wird. Es ergibt sich demnach zur Berechnung des Endkapitals KN:

KN = K0 · (1 + j)N

Praxis-Beispiel

Unterjährige Zinsrechnung

  1. Ein Anfangskapital von 5.000 EUR kann zu einem Zinssatz von 2 % je Quartal angelegt werden. Welcher Endbetrag ist nach 5 Jahren und 3 Monaten bei einfacher Verzinsung erreicht?
n =5 + 3/12 = 5,25
N =4 · 5,25 = 21
KN =K0 · (1 + N · j)
=5.000 EUR · (1 + 21 · 0,02)
=7.100 EUR
  1. Welcher Betrag wird bei sonst gleichen Bedingungen wie in Beispiel 1 bei Zinseszinsrechnung erzielt?
KN =K0 (1+j)N
=5.000 EUR · (1 + 0,02)21
=7.578,33 EUR

Eine weitere Möglichkeit zur Rechnung mit unterjähriger Verzinsung besteht darin, die Laufzeit weiterhin in Jahren zu messen und lediglich die unterjährigen Zinssätze anzupassen. Eine Laufzeitangabe in Monaten muss dementsprechend in Jahre umgerechnet werden, Entsprechendes gilt bei einer Angabe in Tagen. Beispielsweise entspricht eine Laufzeit von 9 Monaten 0,75 Jahre. Die unterjährigen Zinssätze müssen ebenfalls in Jahreszinssätze umgerechnet werden. Dabei ist zu unterscheiden, ob mit einfacher Verzinsung gerechnet oder eine Zinseszinsrechnung vorgenommen wird. Von Bedeutung für die einfache Zinsrechnung ist der nominelle Zinssatz und für die Zinseszinsrechnung der konforme Zinssatz:

  • relativer Zinssatz j: Der relative Zinssatz entspricht dem unterjährigen Zinssatz.
  • nomineller Zinssatz i: Der nominelle Zinssatz entspricht dem auf ein Jahr bezogenen relativen Zinssatz bei einfacher Verzinsung.
i =m · j
  • konformer Zinssatz i*: Der konforme Zinssatz entspricht dem auf ein Jahr bezogenen relativen Zinssatz bei Zinseszinsrechnung.
i* =(1 + j)m– 1

Praxis-Beispiel

Analoge Anwendung der Formeln

  1. Es soll wiederum ein Anfangskapital in Höhe von 5.000 EUR zu einem Zinssatz von 2% pro Quartal angelegt werden. Gesucht ist der Endbetrag nach 5 Jahren und 3 Monaten bei einfacher Zinsrechnung.
    Gegeben ist der relative Zinssatz j = 0,02 und die Laufzeit i = 5 + 3/12 = 5,25 Jahre. Der nominelle Zinssatz beträgt
i =m · j = 4 · 0,02 = 0,08
Kn =K0 · (1 + i · n)
=5.000 EUR · (1 + 0,08 · 5,25)
=7.100 EUR
  1. Der gleiche Kapitalbetrag soll nun ebenfalls mit einem Zinssatz von 2 % pro Quartal für 5 Jahre und 3 Monate angelegt werden. Gesucht ist der Endbetrag bei Zinseszinsrechnung.
    Zunächst muss der konforme Zinssatz i* berechnet werden:
i* =(1 + j)m-1 = (1 + 0,02)4 –1 = 0,0824
Kn =K0 · (1 + i*)n
=5.000 EUR · (1+ 0,0824) 5,25
=7.578,33 EUR

Die beiden Beispiele zeigen, dass die analoge Anwendung der Formeln zur jährlichen Zinsrechnung als auch die Umrechnung der Zinssätze und anschließende Anwendung der ursprünglichen Formeln zu gleichen Ergebnissen führen.