Interne Zinsfußmethode

Bedeutung und Anwendung

Die Interne Zinsfußmethode ist ein klassisches Investitionsrechnungsverfahren dynamischer Art, das auf dem Prinzip des Kapitalwerts (Kapitalwertverfahren) basiert. Der Interne Zinsfuß einer Investition ist der Zinssatz, bei dem sich gerade ein Kapitalwert von null ergibt. Von einigen Sonderfällen abgesehen ist es mathematisch nicht ohne weiteres möglich, den exakten internen Zinsfuß zu berechnen. Daher nutzt man üblicherweise Näherungsverfahren wie die lineare Interpolation, um ihn zu ermitteln. Für Einzelentscheidungen ist das besonders dann ein nützliches Hilfsmittel, wenn der Interne Zinsfuß größer ist als der Kalkulationszinsfuß; dann ist eine Investition besonders vorteilhaft. Ist zwischen zwei sich ausschließenden Investitionen zu wählen, sollte die mit dem höheren Internen Zinsfuß getätigt werden. Dieser Grundsatz steht jedoch unter der Prämisse, dass Zahlungsüberschüsse zum Internen Zinssatz reinvestierbar sind.

1 Berechnung des Internen Zinsfußes

Zunächst muss der Kapitalwert ermittelt werden. Er ergibt sich aus der Diskontierung künftiger Zahlungsströme mit dem Kalkulationszinssatz:

Formel zur Ermittlung des Kapitalwertes

mit:Rt=Einzahlungsüberschuss der Periode t
I0=Investitionsbetrag
i=Kalkulationszinssatz

Der Interne Zinssatz ist als derjenige Diskontierungszinssatz definiert,

  • bei dem der Barwert der Investitionsrückflüsse zuzüglich des Barwertes des Liquidationserlöses gleich dem Barwert der Investitionsausgaben ist, oder anders formuliert,
  • bei dem sich ein Kapitalwert von null ergibt.

Daraus ergibt sich die mathematische Aufgabenstellung bei der Bestimmung des Internen Zinsfußes: Nämlich die Nullstelle der Kapitalwertfunktion festzustellen:

Diese Kapitalwertgleichung erzeugt bei einer Investitionsdauer von n Jahren eine Funktion n-ten Grades, was die exakte Berechnung des Internen Zinsfußes weiter erschwert. Dies gilt aber nicht für Sonderfälle:

1. Der Zweizahlungsfall

Er ist dadurch gekennzeichnet, dass es neben der Investitionsausgabe zum Zeitpunkt t = 0 nur noch zu einer Einzahlung zum Zeitpunkt t = n kommt. Es gibt keinerlei zwischenzeitliche Ein- oder Auszahlungen. Dann sieht die Kapitalwertgleichung wie folgt aus:

Kapitalwertgleichung ohne zwischenzeitliche Ein- oder Auszahlungen

Die Umformung dieser Gleichung führt zur Berechnungsvorschrift für den Internen Zinsfuß im Zweizahlungsfall:

Formel zu Berechnung des Internen Zinsfuß im Zweizahlungsfall

Zerobonds sind ein klassisches Beispiel für einen Zweizahlungsfall. Dabei handelt es sich um einen Finanztitel, bei dem nur zwei Zahlungen auftreten: eine zum Zeitpunkt t = 0 und eine zum Ende der Laufzeit. Zwischenzeitliche Zinszahlungen existieren nicht, weil die Zinsen jeweils dem Kapital zugeschlagen werden und sich so mitverzinsen. Die Rückzahlung am Ende der Laufzeit beinhaltet somit die Tilgung des Kapitals und die Zinsen inklusive Zinseszinsen.

Beispiel: Berechnung des Internen Zinssatzes

Nachfolgender Zerobond ist derzeit zu einem Wert von 20 EUR erhältlich und ist nach 20 Jahren zu einem Wert von 100 EUR zurückzuzahlen. Der Internen Zinssatz dieses Zerobonds lässt sich exakt berechen und beträgt 8,38 %:

Weitere Beispiele für einen Zweizahlungsfall stellen typischerweise auch Investitionen in Grundstücke, Edelmetalle oder Kunstwerke dar.

2. Jährlich konstante Rückflüsse

Ein weiterer Spezialfall, bei dem eine exakte Ermittlung des Internen Zinsfußes möglich ist, liegt bei Investitionen mit jährlich konstanten Rückflüssen vor. Unter Einsatz des Rentenbarwertfaktors ermittelt sich der Kapitalwert bei konstanten Rückflüssen R gemäß folgender Formel:

mit:

Berechnung des Wertes für Rentenbarwertfaktor

Zwar kann aus dieser Gleichung der Interne Zinssatz nicht direkt berechnet werden, allerdings kann ermittelt werden, welchen Wert der Rentenbarwertfaktor annehmen muss:

Gleichstellung Formel Kapitalwert und Rentenbarwertfaktor

Da die Investitionsdauer n bekannt ist, kann man den Wert des Zinssatzes einer hinreichend differenzierten Tabelle von Rentenbarwertfaktoren entnehmen. Führt beispielsweise eine Anschaffungsauszahlung von 52.000 EUR in den folgenden vier Jahren jeweils zu Einzahlungsüberschüssen von 20.000 EUR, dann beläuft sich der Rentenbarwertfaktor auf 2,6:

Beispielhafte Berechnung des Rentenbarwertfaktors

In Tabelle 1 sind verschiedene Rentenbarwertfaktoren in Abhängigkeit vom Kalkulationszinssatz und von der Laufzeit angegeben. Von dem Investitionsprojekt ist bekannt, dass es eine Laufzeit von vier Jahren besitzt. In der entsprechenden Zeile ist der Rentenbarwertfaktor von 2,6 zu suchen. Dieser Wert findet sich annäherungsweise bei einem Kalkulationszinssatz von 20 %, d.h., der Interne Zinsfuß der Zahlungsreihe beläuft sich auf ca. 20 %.

Tab. 1: Tabelle der Rentenbarwertfaktoren

Kalkulationszinssatz
5 %10 %15 %20 %25 %30 %
Laufzeit1 Jahr0,9520,9090,8700,8330,8000,769
2 Jahre1,8591,7361,6261,5281,4401,361
3 Jahre2,7232,4872,2832,1061,9521,816
4 Jahre3,5463,1702,8552,5892,3622,166
5 Jahre4,3293,7913,3522,9912,6892,436

3. Zahlungsreihen mit maximal 2 Jahren

Ein weiterer Spezialfall, bei dem sich der Interne Zinsfuß mathematisch exakt berechnen lässt, liegt bei Zahlungsreihen vor, die sich lediglich über zwei Jahre erstrecken. In einem solchen Fall ist die folgende Gleichung zu lösen:

Formel zur Berechnung des internen Zinsfußes bei Zahlungsreihen

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Wird der Term Term 1/(1+i)  durch x ersetzt, so folgt daraus:

Formel ohne Term 1/(1+i)

Gemäß der „p-q-Formel” ergibt sich:

Umstellung der Formel bei Zahlungsreihen nach p-q Formel

Die Lösungsvariante mit dem Minuszeichen vor der Quadratwurzel führt grundsätzlich zu einer negativen Lösung und ist daher ökonomisch nicht sinnvoll. Des Weiteren ist noch x durch Term 1/(1+i) zu ersetzen. Die Gleichung für den Internen Zinsfuß lautet dann:

Endgültige Formel Interner Zinsfuß bei Zahlungsreihen

Als Beispiel betrachten wir die Investitionszahlungsreihe aus Tabelle 2:

Tab. 2: Zahlungsreihe der Beispielsprojektes

Zeitpunktt = 0t = 1t = 2
Investition-40.000 EUR20.000 EUR30.000 EUR

Durch Einsetzen der Zahlungsgrößen in obige Formel ergibt sich ein Interner Zinsfuß für das Beispiel von 15,14 %:

Für die meisten Investitionsprojekte dürfte allerdings keiner der drei aufgeführten Spezialfälle zutreffen. Bei der Kapitalwertgleichung handelt es sich stattdessen meist um ein Polynom n-ten Grades (mit n > 2), das nicht nach dem Internen Zinsfuß aufgelöst werden kann. Für diesen Fall werden üblicherweise Näherungslösungen verwendet. Eine beliebte Methode zur Ermittlung einer näherungsweisen Lösung besteht in der linearen Interpolation.

Dabei wird in einem ersten Schritt ein Diskontierungszinssatz gewählt, in dessen Nähe man den Internen Zinsfuß vermutet. Hat der mit diesem Diskontierungszinssatz berechnete Kapitalwert ein positives (negatives) Vorzeichen, so muss in einem zweiten Schritt ein höherer (niedrigerer) Kalkulationszins gewählt werden. Idealerweise erhält man daraus einen Kalkulationszinssatz iA mit einem zugehörigen positiven Kapitalwert C0,A und einen Kalkulationszinssatz iB mit negativem Kapitalwert C0,B.

Für die Kapitalwertfunktion unterstellt man nun zwischen den beiden Koordinatenpunkten (iA;C0,A) und (iB;C0,B) einen linearen Verlauf. Auf der Grundlage mathematischer Strahlensätze lässt sich dann verhältnismäßig einfach die Nullstelle berechnen (s. Abbildung 1).

Interpolation zur Bestimmung des internen Zinsfußes

Abb. 1: Interpolation zur Bestimmung des internen Zinsfußes (vgl. Bieg; Kußmaul, 2000, S. 127)

Die Gleichung für den Internen Zinsfuß beruht auf der Betrachtung zweier ähnlicher, rechtwinkliger Dreiecke. Ähnliche Dreiecke zeichnen sich dadurch aus, dass die Seitenverhältnisse übereinstimmen. Daher gilt:

Formel zur Berechnung der linearen Interpolation

Löst man diese Gleichung nach dem Internen Zinsfuß auf, so erhält man:

Auflösung der lineare Interpolation zum internen Zinsfuß

Wie gesagt handelt es sich bei einem berechneten Internen Zinsfuß lediglich um eine approximative Lösung, weil die Kapitalwertfunktion tatsächlich einen gekrümmten Verlauf aufweist. Der Interne Zinsfuß wird durch die Interpolation überschätzt. Abbildung 2 verdeutlicht die Bewertungsfehler.

Lineare Interpolation des Internen Zinsfußes

Abb. 2: Lineare Interpolation des Internen Zinsfußes

Mit Hilfe der linearen Interpolation lässt sich also nicht der exakte Wert für den Internen Zinsfuß bestimmen. Dennoch erzeugt dieser näherungsweise Lösungsansatz meist ein praktisch verwertbares Ergebnis. Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, kann man die Berechnung mit dem bereits ermittelten Ergebnis fortführen. Indem das Intervall von Versuchszinssätzen immer mehr verkleinert wird, nähert sich der berechnete Zinssatz immer stärker dem tatsächlichen Internen Zinssatz an.

Anhand eines Beispiels verdeutlichen wir die Vorgehensweise zur Bestimmung des internen Zinsfußes mit Hilfe der linearen Interpolation. Es liegt die folgende Investitionszahlungsreihe vor:

Tab. 3: Zahlungsreihe der Investition

 

Zeitt = 0t = 1t = 2t = 3t = 4t = 5
Investition-60.000 EUR25.000 EUR18.000 EUR15.000 EUR12.000 EUR10.000 EUR

Bei den Versuchszinssätzen iA = 10 % und iB = 15 % ergeben sich die nachfolgenden Kapitalwerte:Berechnung Kapitalwert mit ia=10% und ib=15%

Damit ergibt sich für den Versuchszinssatz iA ein positiver Kapitalwert und für den Versuchszinssatz iB ein negativer Kapitalwert. Nun setzen wir diese Werte in die Formel für die Interne Zinssatzberechnung ein:

Beispielhafte Berechnung mit dem Zinssatz ia

Bei einem Kalkulationszinssatz von 12,85 % liegt der Kapitalwert der Investition (-944 EUR) schon deutlich näher an null als bei den beiden Versuchszinsen (iA = 10 % und iB = 15 %):

Berechnung des Kapitalwertes mit Zinssatz von 12,85%

Ist dieses Ergebnis für den Internen Zinssatz noch zu ungenau, kann ein weiterer Iterationsschritt angewendet werden. Als Versuchzinssätze sollten dann der zuvor approximativ ermittelte Interne Zinssatz in Höhe von 12,85 % (C0 =- 944 EUR) sowie der erste Versuchszins iA in Höhe von 10 % (C0 = 2.533 EUR) angewandt werden.

2 Interpretation des Internen Zinsfußkriteriums

Nach der Berechnung des Internen Zinsfußes erklären wir nun, wie er zu interpretieren ist. Es ist zunächst wichtig zu verstehen, dass es sich beim Internen Zinsfuß um eine Renditekennziffer handelt und nicht wie beim Kapitalwert um einen absoluten Erfolgsmaßstab.

Allerdings kann der Interne Zinsfuß als Renditemaßstab nicht alleiniges Kriterium für die Sinnhaftigkeit einer Investition sein. Zunächst muss die ermittelte Rendite mit der erforderlichen Mindestrendite verglichen werden: Ein Investitionsobjekt ist nach der Methode des Internen Zinsfußes dann vorteilhaft, wenn der Interne Zinsfuß mindestens dem Wert des Kalkulationszinses entspricht.

Diese Vorteilhaftigkeitsregel lässt sich am besten mittels des Kapitalwertes erklären: Wenn eine Investition einen positiven Kapitalwert erzielt, wird neben Rückzahlung und Verzinsung des eingesetzten Kapitals ein Überschuss in Höhe des Kapitalwertes realisiert. Einen solchen positiven Kapitalwert erzielt eine Investition dann, wenn ihr Interner Zinsfuß den Kalkulationszinssatz übersteigt. Entspricht der Interne Zinsfuß gerade so dem Kalkulationszins (C0 = 0), so ist die Investition gerade noch in der Lage, die Investitionsausgabe zu amortisieren und eine Verzinsung zum Kalkulationszins zu gewährleisten. Ein Interner Zinssatz unterhalb des Kalkulationszinssatzes führt zu einem negativen Kapitalwert.

Verzinsung der Kapitalbindung

Inhaltlich versteht sich der Interne Zinsfuß als die Verzinsung des noch nicht amortisierten Kapitals. Bei einer Verzinsung zum Internen Zinsfuß reichen die Investitionsüberschüsse gerade aus, um den Kapitaleinsatz wiederzugewinnen und die Verzinsung der noch gebundenen Mittel sicherzustellen. Anhand eines Beispiels überprüfen wir nun diese Aussage. Als Beispiel dient die bereits bekannte Investition aus Tabelle 3. In Tabelle 4 ist der Zins- und Tilgungsplan für den Beispielfall ergänzt. Der exakte Interne Zinssatz des Beispielfalls liegt bei 12,0485 %.

Tab. 4: Interpretation des Internen Zinsfußes

ZeitpunktKapitalbindung JahresanfangZahlungZinsTilgungKapitalbindung Jahresende
160.00025.000-7.22917.77142.229
242.22918.000-5.08812.91229.317
329.31715.000-3.53211.46817.849
417.84920.000-2.15117.8490

Im ersten Jahr ist die Kapitalbindung der Investition gleich der Anschaffungsauszahlung, da es noch nicht zu Rückflüssen kommen konnte. Diese Kapitalbindung ist mit 12,0485 % zu verzinsen. Das entspricht 60.000 EUR × 12,0485 % = 7.229 EUR. Der Einzahlungsüberschuss des ersten Jahres beläuft sich auf 25.000 EUR. Folglich bleiben 17.771 EUR für die Amortisation. Die Kapitalbindung verringert sich im zweiten Jahr also auf 42.229 EUR. Dafür werden Zinsen von 5.088 EUR fällig. Mit Hilfe des Zahlungsrückflusses von 18.000 EUR lässt sich das noch ausstehende gebundene Kapital für das dritte Jahr um weitere 12.912 EUR reduzieren. Die Zinsen im dritten Jahr belaufen sich auf 3.532 EUR. Daneben kommt es zu einer Auszahlung von 15.000 EUR, wodurch sich die Kapitalbindung weiterhin um 11.468 EUR reduziert. Der Einzahlungsüberschuss von 20.000 EUR im vierten Jahr reicht dann genau aus, um das ausstehende Kapital zu amortisieren und zu verzinsen, sodass zum Ende der Investitionsdauer das Kapital vollständig wiedergewonnen und verzinst wurde. Darüber hinaus ergibt sich kein weiterer Vermögenszuwachs.

Die Anwendung der Internen Zinsfußmethode setzt genau einen Diskontierungszinssatz voraus, bei dem der Kapitalwert den Wert null annimmt. Es lassen sich Investitionszahlungsreihen konstruieren, in denen entweder mehrere oder gar keine Internen Zinsfüße existieren können. In diesen Fällen ist eine Anwendung des internen Zinsfußkriteriums daher unmöglich.

Weil ein renditeorientiertes Denken in der Unternehmenspraxis weit verbreitet ist, erfreut sich die Interne Zinsfußmethode großer Beliebtheit. Oft wird sie der Kapitalwertmethode gegenüber vorgezogen.

3 Das Interne Zinsfußkriterium bei Auswahlentscheidungen

Bei Wahlentscheidungen sich ausschließender Alternativen kann ebenfalls das Interne Zinsfußkriterium verwendet werden. Die simple Regel lautet dabei: Wähle die Investition mit dem höchsten Internen Zinsfuß. Diese Regel setzt allerdings einige Annahmen voraus.

Zwei zu vergleichende Investitionen unterscheiden sich meistens im Hinblick auf Investitionsdauer, Anschaffungsdauer und Höhe sowie zeitlicher Struktur der Rückflüsse. Für einen vollständigen Investitionsvergleich muss also eine Festlegung in Bezug auf die Verzinsung der Zahlungsstromdifferenzen getroffen werden. Mit einem einfachen Vergleich der Internen Zinsfüße wird impliziert, dass sich die Zahlungsstromdifferenzen zum Internen Zinssatz derjenigen Investition reinvestieren lassen, zu deren Ergänzung sie durchgeführt werden.

Mit dieser Annahme wird nicht nur die Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes aufgehoben, da auf diesem lediglich Kapitalanlage- und Kapitalaufnahmemöglichkeiten zum einheitlichen Kalkulationszins möglich sind. Auch unterstellt man eine unrealistische Annahme für die Verzinsung der Zahlungsstromdifferenzen: Für Investitionsprojekte mit unterschiedlichen Internen Zinsfüßen bieten sich unterschiedliche Wiederanlagemöglichkeiten.

Die unterschiedlichen Wiederanlageprämissen von Kapitalwert und Internem Zinsfußkriterium können daher dazu führen, dass beide Investitionsrechnungsverfahren unterschiedliche Auswahlentscheidungen treffen.